použité Cassiniho zobrazení

triangulace v Čechách  |  Morava a Slezsko |  Slovensko  |  Hlučínsko

************************************************************************

Katastrální triangulace pro mapy Stabilního katastru

   První souvislá trigonometrická síť I. řádu v našich zemích byla vybudována pro katastrální mapování v měřítku 1:2 880 jako část katastrální triangulace, prováděné na celém území bývalé monarchie rakousko uherské. Měřickými a výpočetními pracemi pro celou rakousko – uherskou monarchii byla v roce 1818 pověřena "Triangulační a početní kancelář" ve Vídni. Měřické práce trvaly až do roku 1864.

 

   K určení rozměru sítě byla převzata základna u Vídeňského Nového Města (zaměřena Liesganigem v roce 1759 – 1768, měla délku 6 410,903 vídeňských sáhů, tedy 12 158,175 m), a zaměřeny tři další (u Welsu v Horních Rakousích, u Radovce v Bukovině a u Hallu v Tyrolsku). Jejich délky byly od 5,6 km do 15,0 km. Astronomicky se určovala poloha koncových bodů základen a příslušné azimuty, takže bylo možno trigonometrickou síť umístit na elipsoidu a orientovat vzhledem ke světovým stranám. Použit byl elipsoid o parametrech a = 6 376 045 m, i = 1 : 310 (Zachův elipsoid; Besselův v té době ještě nebyl určen).

  

   Budování sítě však bylo bez řádného plánu – což se projevilo především v tom, že technologie měření nerozlišovala mezi budováním sítě II. a III. řádu (rozlišení bylo provedeno dodatečně a jen formálně), a nebylo provedeno jednotné vyrovnání sítě jako celku. Body I. řádu byly vzájemně vzdálené 15 až 30 km. Tato síť byla číselnou triangulací zhuštěna body II. řádu s délkami stran 9 až 15 km a III. řádu se stranami 4 až 9 km. Zhušťování probíhalo tak, aby na jednu čtvereční rakouskou míli (5 755 ha) připadly alespoň 3 trigonometrické body. Pro podrobné měření se triangulační síť se doplnila grafickou triangulací o body IV. řádu tak, aby na každý mapový list 1:2 880 připadly 3 body. Grafická triangulace (obrázek vlevo a vpravo) se vykonala v měřítku 1:14 400 (tzv. fundamentální list), na papíře napjatém na broušených skleněných deskách.

  

   V návaznosti na provedenou triangulaci se vyhotovovaly přehledy trigonometrických sítí krajů Budějovického, Českolipského, Chebského, Jihlavského, Pardubického, Plzeňského a Pražského. Více zde.

 

   Výsledky triangulačních prací, prováděných početní metodou, byly zobrazeny ve fundamentálních listech trigonometrické triangulace v měřítku 1:57 600. Více zde.

 

   Body byly stabilizovány dřevěnými kůly. Při pozdější stabilizaci se kůl zarazil hlouběji do země a na něj se usadil stabilizační kámen. V Čechách byly triangulační práce vykonány v letech 1824 - 1840, přičemž ke stabilizaci se přistoupilo až v letech 1845 – 1862, tj. mnohdy až 20 let po provedení triangulačních prací. Na Moravě se body rovněž stabilizovaly kamennými mezníky až za 20 let po triangulaci. Je samozřejmé, že při stabilizaci po tak dlouhé době se nenašly všechny body (některé se znovu určovaly), a že zůstala určitá nejistota v tom, zda stabilizovaný bod odpovídá svým souřadnicím.

 

   Pro vyhotovení katastrálních map stabilního katastru byla trigonometrická síť zobrazena do roviny tak, že válcová plocha se dotýkala zvoleného základního poledníku pro určitý rozsah území.  Použité  Cassiniho zobrazení  pro potřeby monarchie upravil Soldner, tudíž nese název zobrazení Cassini–Soldnerovo; válec je v transverzální (rovníkové) poloze, a je ekvidistantní v kartografických polednících. Každý bod byl určen dvěma  oblouky, tedy sférickými souřadnicemi xn ,yn, které se zde zobrazují jako dvě na sebe kolmé přímky (obrázek vpravo). Tudíž bylo zanedbáno zakřivení Země a sbíhavost hlavních kružnic (měřené úhly nebyly redukovány o směrové korekce). Aby se eliminovalo velké délkové (a tedy i plošné) zkreslení byla západní část monarchie rozdělena na 7 poledníkových pásů se samostatnými soustavami souřadnic (obrázek vlevo a výše). Zkreslení délek (obrázek vlevo níže) závisí na směrníku délkového elementu:

   Pro souřadnice Xn ,Yn v rovině Cassini-Soldnerova zobrazení platí následující jednoduchý vztah:

                 

                Xn =  xn                     Yn =  yn.

 

   Osa X byla vždy vložena do obrazu zeměpisného poledníku, jdoucího zvoleným základním trigonometrickým bodem I. řádu (viz obrázek výše). Osa Y je obrazem poledníku kartografického. Dostáváme tak čtvercovou mapu, kde obrazy kartografických poledníků a rovnoběžek svírají pravý úhel.

 

Pozn.: – souřadnice x se měří po oblouku základního zeměpisného poledníku až k průsečíku s kartografickým poledníkem, jež uvažovaným bodem prochází. Souřadnice y se měří po oblouku kartografického poledníku od průsečíku se základním poledníkem zeměpisným až k danému bodu. .

nahoru

 

A) ČECHY

   Celá země byla zahrnuta do souřadné soustavy s počátkem v trigonometrickém bodě Gusterberg, což je kopec v Horních Rakousích, necelé 2 km na jihovýchod od Kremsmünsteru a asi 5 km na západ od Bad Hallu.  Tento bod se stal počátkem souřadnicové soustavy a poledník jím procházející měl sloužit jako její osa; ve skutečnosti se však geometři dopustili chyby a osu soustavy natočili o 4´ 22,3´´ (jižní větev osy je odkloněna k západu), takže gusterberská soustava vlastně není orientována podle žádného poledníku. Dnes už nelze říci, proč tento malý kopec o nadmořské výšce 488 m byl vybrán k tak významnému účelu.

 

   Jeho poloha byla určena astronomicky takto:

 

φ = 48o 02’ 20,50”                        λ = 31o 48’ 09,17” (vých. od Ferra)

 

   Při později provedené vojenské triangulaci (1862–1898) byly zeměpisné souřadnice tohoto bodu odvezeny a zpřesněné hodnoty mají velikost:

 

φ = 48o 02’ 18,47”                        λ = 31o 48’ 15,05” (vých. od Ferra)

 

   Z později provedené vojenské triangulace vyplynulo stočení kladné osy X západním směrem o hodnotu 4’ 22,3”. Azimuty, odvozené ze souřadnic rovinných či zeměpisných, jsou o tuto hodnotu větší, pročež je o ni pootočena celá trigonometrická síť! Rovnoběžkami s osami X a Y bylo území rozděleno na čtvereční míle (základní triangulační listy). Další zhuštění dalo rámce katastrálních map v měřítku 1 : 2 880 (1 000 x 800 vídeňských sáhů). Více v sekci Mapový fond.

 

   Největší vzdálenost od osy X činí y = +194 km a –147 km se zkreslením délek až +462 mm / km a plochy +462 m2 / km. Redukce směrníku i u nejkratší polygonální strany činí až 48”, konvergence  g = y . tg j / R mílové sítě (rámce mapy) od astronomického severu až o –2’ 01” a  +1’ 40” s připočteným stočením osy X, jak již bylo zmíněno výše.

nahoru

 

B) Morava a Slezsko

   Počátkem souřadnic je trigonometrický bod kostel Sv. Štěpána (obrázek vlevo) ve Vídni. První astronomické měření dalo zeměpisné souřadnice:

 

φ = 48o 12’ 32,75”   λ = 34o 02’ 21,60” (vých. od Ferra)

 

   Při později provedené vojenské triangulaci (1862–1898) byly zeměpisné souřadnice tohoto bodu odvezeny a zpřesněné hodnoty mají velikost:

 

φ = 48o 12’ 31,54”                        λ = 31o 02’ 27,32” (vých. od Ferra)

 

   Podle Kolomazníkovy studie "Dějiny triangulace (katastrální)" má moravská trigonometrická síť katastrální stejnou orientaci jako dolnorakouská, avšak opravený rozměr u výchozí strany Děvín – Leskoun na 6 410,590 sáhů.. V dolnorakouské síti totiž byla opomenuta redukce Liesganigovy základny u Vídeňského Nového města na hladinu moře.

nahoru

 

C) SLOVENSKO

   Katastrální mapování bylo v Uhrách započato až později (1853). Pro výsledky triangulace byla založena souřadnicová soustava s počátkem v trigonometrickém bodě Gellérthegy (východní kopule hvězdárny v Budapešti – obrázek vlevo) a s osou X, vloženou do obrazu poledníku, procházejícího tímto bodem. Jeho odvozené souřadnice (patrně z vojenské triangulace) jsou:

 

φ = 47o 29’ 14,06”                        λ = 36o 42’ 53,23” (vých. od Ferra)

 

   Nepřesným určením azimutu výchozí trigonometrické strany byla kladná větev osy X stočena na východ o 13,8”. Trigonometrická síť byla vyrovnána jen zkusmo (v řetězcích vedených od základny u Vídeňského Nového Města).

 

   V této soustavě souřadnic byly v době 1859 – 1863 zmapovány některé části středního a východního Slovenska (viz obrázek vlevo). Mapy vyhotovené před rokem 1859 nemají triangulační ani zobrazovací podklad.

 

 

 

 

Stereografická projekce

   Pod vedením českého geodeta Horkého byla v letech 1860 – 1864 vyrovnána nová trigonometrická síť, na základě triangulace vojenské, podle metody nejmenších čtverců ve dvou skupinách (se 154 a 176 normálními rovnicemi, což byla na tehdejší dobu pozoruhodná práce). Pro výsledky triangulace byla zvolena v r. 1869 stereografická projekce ve třech soustavách. Slovensko bylo vztaženo jako v případě Cassiniho zobrazení , k bodu Gellérthegy, jehož souřadnice byly odvozeny triangulací z vídeňské hvězdárny na:

 

φ = 47o 29’ 15,97”                        λ = 36o 42’ 51,57” (vých. od Ferra)

 

   Medvey uvádí jiné výsledky z roku 1874:

 

φ = 47o 29’ 14,06”                        λ = 36o 42’ 53,23” (vých. od Ferra)

 

   Zobrazení vypracoval Marek ("Technische Anleitung...", 1875), kdy se Besselův elipsoid zobrazuje na konformní kouli (první historické aplikace Gaussovy teorie). Osa X byla vložena do místního poledníku.

 

Válcová zobrazení

   Postupně zhušťovaná síť byla podkladem pro mapování až do roku 1924. závadou stereografické projekce však bylo velké zkreslení délek ve větších vzdálenostech od Budapešti (viz obrázek vlevo) v kruhu za r = 128 km jde o hodnotu 10 cm / km. Proto správa uherského katastru zavedla v roce 1908 další tři pomocné soustavy obecného válcového zobrazení, které navrhl Fasching. společná osa X byla položena opět do poledníku Gellérthegy, jehož astronomické souřadnice byly nově určeny:

 

φ = 47o 29’ 09,6380”                        λ = 36o 42’ 53,5733” (vých. od Ferra)

 

   Stará osa X stereografické projekce je tedy stočena vůči nové ose o –6,44” na západ. Válec se dotýká konformní koule podél ortodrom (přímka probíhající pod stále stejným azimutem), vycházejících kolmo k základnímu  poledníku(ose X). Délkové zkreslení je všude menší než 10 cm / km a zobrazení jsou prakticky ortodromická. Slovensko bylo pojato téměř celé (od = 47o 55’) do severního pásu. Ve zbytku patřícímu střednímu ke střednímu pásu nebylo válcové soustavy využito.

 

   Válcové zobrazení bylo použito v letech 1910 – 1914 pro triangulaci a nové katastrální mapování u Košic a na SZ Slovensku, jinde v něm byla jen vypočtena triangulace. Fasching vypracoval tabulky pro vzájemný převod souřadnic válcového a stereografického zobrazení, jež jsou uvedeny v Instrukci B Ministerstva financí. Pořadnice y se liší jen o několik metrů, a to hlavně vlivem vzájemného stočení obou os X.

 

   Pro nové mapy menšího měřítka byla ponechána stereografická projekce s novými zeměpisnými souřadnicemi vzhledem k bodu Gellérthegy a starou orientací sítě z roku 1874.

nahoru

 

D) Hlučínsko

   Malé území Hlučínsko bylo před rokem rokem 1918 součástí bývalého Pruska, kde v roce 1876 Schreiber vyrovnal celopruskou triangulaci až do III. řádu v tzv. "Doppelprojektion". Besselův elipsoid se konformně zobrazil na kouli (Uo = 52o 40’) a tato do transverzálního (rovníkového) zobrazení s osou X v poledníku = 31o (od poledníku ve Ferru) a s počátkem O (Uo = 52o 40’). Seznam trigonometrických bodů (x, y, ,) byl zveřejněn v ("Koordinaten und Höhen sämtlicher von der trig. Abt. des L. A. bestimmten Punkte im Reg. Bez. Oppeln", Berlin, 1885) a obsahuje četné body na Hlučínsku a v celém pohraničí bývalého Pruska vůbec.

 

   Pro katastrální mapování v měřítku 1 : 2 500 byly výsledky triangulace přepočteny do většího počtu soustav Cassini–Soldnerova zobrazení, přičemž pro Hlučínsko platí souřadnicový systém s počátkem v trigonometrickém bodě Pšov (obrázek vlevo) o souřadnicích:

 

φ = 48o 02’ 20,50”                        λ = 31o 48’ 09,17” (vých. od Ferra)

 

a osou X v jeho poledníku. V něm bylo provedeno nové mapování scelovaných obcí. Obce nescelené nemají triangulační ani mapový podklad.

 

   Maximální pořadnice y = 34 km, zkreslení m = 14 mm/km, poměr měřítek sítě české a pruské soustavy je q = 1,000 025 – 75, nejprudší změna dq = 0,000 025/8 km, dqo = 0,000 0031/km.