AGS v období 1939-1943  |  AGS v období 1946-1954  | celková charakteristika AGS

mezinárodní vyrovnání české AGS   |   převod S-JTSK do S-42

systém S-52  |  systém S-42/1983

************************************************************************

Charakteristika Astronomicko-geodetické sítě (AGS)

   Ještě, než byla definitivně v roce 1928 vyrovnána síť JTSK, bylo zřejmé, že bude třeba vybudovat síť kvalitnější, podle nejnovějších vědeckých poznatků a s nejmodernějšími přístroji. Pro technické účely (pozemkový katastr) však byla kvalita sítě S-JTSK postačující.

   V roce 1931 byly zahájeny práce v čs. astronomicko-geodetické síti (AGS, tehdy nesla označení Základní trigonometrická síť). Vědecké řízení prací měl pod dohledem komitét geodetický a geofyzikální při tehdejší Národní radě badatelské. Byla navržena síť trojúhelníků o průměrné délce stran 36,1 km, bylo naplánováno spojení se základními trigonometrickými sítěmi sousedních států. AGS měla 144 bodů, 366 stran, 227 trojúhelníků. Nejdelší strana je Smrčín-Džbán (62,1 km), nejkratší Paseky - Žákova hora (14,4 km). Nejvyšší bod je Lomnický štít (slovenské Tatry, 2 636 m), nejnižší Čížkov (112 m). Řada bodů AGS je totožná s body I. řádu sítě JTSK. Do roku 1938 byla provedena astronomická měření na četných bodech, provedeno měření základny u Jesenského a uskutečněno spojení se sítí rakouskou a rumunskou. Úhly se měřily vrcholovou metodou v laboratorních jednotkách, První léta byla věnována hojným pokusným měřením k výzkumu přístrojů, metod měření a vlivu refrakce.

 nahoru

AGS v období 1939 - 1943 

   V letech 1939 - 1943 byla zaměřena síť českomoravská (v českém území metodou vrcholovou a Schreiberovou, v pohraničí jen Schreiberovou), základna u Poděbrad, bylo uskutečněno spojení se sítí německou (bavorskou, saskou a tehdejší německou slezskou).  Zpočátku byly na některých bodech použity i masivní teodolity (Ascania, Chasselon), ale později výhradně teodolity Wild T-3. Předepsaná váha (24 laboratorní jednotky) byla zpravidla překračována. Pro komparaci invarových drátů byla vybudována geodetická základna Hvězda. V r. 1943 byla také porovnána s geodetickou základnou mezinárodního významu Potsdam. Byla provedena astronomická a geodetická měření. Vyrovnány byly odděleně síť česká (124 normální rovnice) a síť moravská (47 rovnic) Křovákovou metodou. Střední chyba, vypočtená z uzávěrů trojúhelníků, činila ±0,30”, z vyrovnání sítě ±0,35”.

   Astronomicko-geodetická síť byla za protektorátu spojena se sítí německou zvanou "Reichsdreieksnetz". Tato byla vytvořena kvapně za války s účelem rychle sjednotit asi 50 různých souřadných soustav na území Německa. K rýnskému jádru byly Helmertovou transformací postupně připojovány jednotlivé plošné sítě (bavorská, rakouská, atd.) a na konec i česká a moravská. Velké nesouhlasy v poloze společných bodů na styku sítí (až 70 cm) a vzrůst střední chyby ve vyrovnaném směru (na 0,6” v české a 0,8” v síti moravské) svědčily o nevhodnosti tohoto postupu. Rámec německé sítě vyžadoval zhruba jednometrové zkrácení sítě AGS ve směru sever-jih a stejné prodloužení ve směru kolmém. Česká síť převzala poloviční odchylky, moravská celé. Docílilo se toho, že se zlepšila poloha JTSK na Besselově elipsoidu. Posuny na bodě Brdo: dj = +1,35”, dl = –17^o40’ + 3,00”, dA = cca –6”. Do nových trojúhelníků zapojené sítě byly afinní transformací převedeny body JTSK a vyjádřeny rovinnými souřadnicemi Gaussova zobrazení (soustavy DHG a DRG).

 nahoru

AGS v období 1946 - 1954 

   V tomto období byly doměřeny úhly na ostatních bodech slovenské AGS s vysokou váhou (na bodě měřili dva observátoři se třemi Wild T-3 po 16 laboratorních jednotkách - celkem 48 laboratorních jednotek). Současně bylo provedeno spojení se sítí polskou, maďarskou a sovětskou. Měřeno bylo 5 dalších základen (v roce 1938 změřena základna u Jesenského) soupravou 8 invarových drátů, které byly před a polním měření komparovány na srovnávací základně Hvězda. Měřeny byly další Laplaceovy body, byla zhuštěna gravimetrická síť.

 nahoru

Celková charakteristika AGS

   Celkem bylo za 20 roků (1935 - 1954) změřeno:

   Astronomicko-geodetická síť má 144 bodů, 227 trojúhelníků a 366 stran (viz obrázek). Z 227 uzávěrů úhlů v trojúhelnících je jen 31 větších než 1”, největší je +2,01”. Střední uzávěr je ±0,66” ® této hodnotě odpovídá střední chyba měřeného úhlu ±0,38” a měřeného směru ±0,27”. Z vyrovnání na stanicích byla určena střední chyba měřeného úhlu jen ±0,21”, takže střední hodnota systematické chyby, způsobená hlavně vlivy refrakce, je m_c = 0,32”. Relativní střední chyby základen byly v mezích od 2 . 10^–7  od 1 . 10^–6. 

(Mezinárodní geodetická asociace stanovila v Helsinkách v roce 1960 tyto požadavky na přesnost měřených veličin v základních trigonometrických sítích: „Maximální uzávěr úhlů v trojúhelníku ±2,5”, střední chyba měřeného směru, vypočtená z uzávěrů dle Ferrerova vzorce menší než ±0,4”; relativní chyby základen 1 . 10^–6“. Je zřejmé, že naše AGS těmto požadavkům plně vyhovuje).

 nahoru

Mezinárodní vyrovnání české AGS

    V letech 1956 – 57 byla naše AGS vyrovnána společně s trigonometrickou sítí I. řádu západní části tehdejší SSSR (zhruba od spojnice Petrohrad - Oděsa) a se sítěmi států, patřících do tehdejšího východního bloku. Pro vyrovnání byly určeny astronomicko-geodetické tížnicové odchylky a sestaveny mapy složek x, h v měřítku 1:500 000, mapa Bouguerových anomálií ve stejném měřítku a mapa geoidu. Měřené veličiny byly převedeny na Krasovského elipsoid s orientací v Pulkovu (s tížnicovými složkami x_o = –0,16”, h_o = +1,78”), a do zobrazovací roviny Gaussova zobrazení v 6^o pásech. Vyrovnání v této rovině se uskutečnilo metodou ruského geodeta Pranic-Praněviče. Celá mezinárodní síť byla rozdělena na 21 bloků, které byly nakonec spojeny v jeden celek. Výsledky vyrovnání jsou stejné, jako kdyby byla celá síť vyrovnána najednou (v celku). Střední chyba měřeného úhlu (aposteriorní), vypočtená z oprav z vyrovnání, byla ±0,59”.

Táž střední chyba apriorní (z uzávěrů trojúhelníků) činila na území bývalé ČSSR 0,38”. Značně vyšší hodnota aposteriorní střední chyby, 0,59”., svědčí o určitém přizpůsobení československé AGS okolním méně přesným sítím, které místy tvořily jen řetězce. Nesporná však zůstává její vyšší přesnost proti síti I. řádu JTSK, kde byla aposteriorní střední chyba reprezentována hodnotou 1,14”.

   Vyrovnané souřadnice 144 bodů AGS v Gaussově zobrazení se staly základem souřadnicového systému S-42 na našem území (S-42 = „sistěma 1942 goda“). Pro vytvoření dostatečně hustého bodového pole v systému S-42 byly využity body sítě JTSK. Nejprve bylo rovině Gaussova zobrazení vyrovnáno 195 bodů sítě I. řádu (v 10 blocích), a to na základě dřívějších měření (naměřené směry byly opraveny o korekce z vlivu tížnicových odchylek). Následovalo vyrovnání (1959 – 1960) některých bodů II. a výjimečně III. řádu v těch prostorech, kde to pro další výpočty bylo potřebné. Tak se získalo celkem 731 trigonometrických bodů, které měly rovinné souřadnice jak v systému S-42, tak i v S-JTSK. Těchto „identických  bodů“ se pak využilo pro převod (transformaci) všech ostatních bodů JTSK do systému S-42 (M. Cimbálník, výzkumná zpráva VÚGTK č. 66/1959 a Studia 1960). Z podstaty obou souřadných systémů vyplývá, že šlo o transformaci nestejnorodých souřadnic, kdy méně přesný systém JTSK transformujeme pomocí čtvercové sítě 10 x 10 km identických fiktivních bodů do nového, přesnějšího systému, který je kromě orientace a tvaru i rozměrově podstatně lépe určen.

K ověření přesnosti soustavy S-42 provedl Miloš Cimbálník (1964) samostatné úhlové vyrovnání naší AGS ve třech variantách:

1) tvarové (227 trojúhelníkových + 85 závěrových + 85 stranových = 397 rovnic pro 681 úhlů) dalo m = 0,42” (oproti 0,38”  z uzávěrů trojúhelníků),

2) přibráním 9 azimutálních rovnic (s pevnými azimuty) zvýšilo m na 0,47”,

3) dalším přibráním 5 základnových rovnic se zvýšila hodnota střední chyby na m = 0,54”.

 Zhodnocení výsledku je ve výzkumné zprávě VÚGTK č. 106/1961 a č.  165/1965.

 nahoru

Převod S-JTSK do S-42

   Po mezinárodním vyrovnání československé AGS v roce 1957 obdržela tehdejší Ústřední správa geodézie a kartografie (ÚSGK) zeměpisné a Gaussovy souřadnice (v 6^o pásech) 148 bodů, přičemž 45 z nich ležely mimo území tehdejší ČSSR. Pro transformaci národní sítě JTSK do S-42 bylo rozhodnuto v maximální míře využít předběžného převodu do S-52, především z důvodu ekonomických.

   Transformace řídil Cimbálník (VÚGTK) a publikoval podrobný postup (Výzkumná zpráva VÚGTK č. 66/1959, č. 223/1966 a Studia 1960).

   Rozdíly dx = x₄₂ – x₅₂, dy = y₄₂ – y₅₂ u 144 československých bodů rostly směrem od sovětských hranic (mapka vektorů  – Studia 1960, str. 139 a obrázek vlevo), dx od –0,5 m do +3,5 m, dy od –1,0 m do –5,0 m. Síť S-52 je proti síti S-42 vějířovitě smrštěná od západu a jihozápadu k sovětským hranicím. Zkrácení osy západ –východ činí asi 4 m, osy Děčín-Český Krumlov asi 1 m a osy Ostrava – Bratislava cca 2 m. Jejich nepravidelný průběh nutil ke zhuštění sítě identických bodů. S použitím měřených směrů v původní JTSK, opravených o vliv tížnicových odchylek, bylo do dané AGS v soustavě S-42 souřadnicovým vyrovnáním napřed začleněno 195 bodů zhušťovací sítě I. řádu, vždy po celých skupinách v počtu 10 (po 6 až 41 bodech). Výsledná sít byla dále zhuštěna novým vyrovnáním sítě II. řádu a místy i body III. řádu. Takto vznikla dosti hustá síť 731 identických bodů, u  nichž  byly  dány  trojí  souřadnice (X, Y)_K, (x, y)₅₂ a (x,y)₄₂. Mezi první (Křovákovou) soustavou a S-52 platí přesný analytický vztah, se soustavou S-42 však tvoří obě soubor nestejnorodých souřadnic, kde je matematický vztah porušen náhodnými chybami obou odlišných triangulací a různým vyrovnáním. Přitom S-52 a 5-42 jsou ve stejné (Gaussově) zobrazovací rovině.

   Cimbálník využil nejen zprostředkující soustavy S-52 (která již převedla Křovákovy souřadnice do Gaussovy roviny), ale i jejího tabulkového díla (10x10 km) pro plošnou transformaci, která byla programována pro samočinné počítače.  Transformace nemohla být provedena jednorázově  (x, y)₅₂ ® (x,y)₄₂, protože do soustavy (x, y)₅₂ byly převedeny pouze trigonometrické body; podrobné mapování ve velkém měřítku žádalo pokud možno zmechanizované počtářské pomůcky pro převod dalších zhušťovacích bodů, rohů katastrálních map apod. 

Cílem řešení byla úprava tabulek 10 x 10 km převádějících (X, Y)_K ® (x, y)₅₂ na tabulky pro přímý převod (X, Y)_K ® (x, y)₄₂ a to nejen do 6^o, ale i do 3^o pásů.

   Vlastní převod S-JTSK do S-42 se řešil tak, že posuny dx = x₄₂ – x₅₂, dy = y₄₂ – y₅₂ byly připsány v přehledné situaci k identickým bodům, vyhotoven vrstevnicový plán izočar přírůstků (obrázek vpravo), z něj odečteny interpolací posuny dx'_o, dy'_o pro rohy Křovákovy sítě 10 x 10 km a vypočteny první a druhé diference včetně smíšené (viz obrázek vlevo). Z nich pak byly vypočteny zpětně plošnou interpolací posuny dx', dy' u identických bodů. Následně byly vytvořeny (již malé) rozdíly dx'' = dx - dx' , dy'' = dy -dy' u identických bodů, jejich nové izočáry a interpolací odečteny nové souřadnicové přírůstky dx"_o, dy"_o pro rohy čtverců 10 x 10 km. Sečtením dx'_o + dx"_o = dx_o , dy'_o+ dy''_o = dy_o byly nyní vypočteny konečné posuny pro rohy čtverců, připočteny ke Gaussovým souřadnicím (x, y)₅₂, vypočteny první a druhé diference a sestaveny tak definitivní tabulky pro přímou plošnou interpolaci X_K ® x₄₂ a Y_K ® y₄₂. Druhá aproximace se ukázala již jako zcela postačující a vede prakticky ke ztotožnění identických bodů při transformaci (poněkud vychýlených při použití předcházející plošné transformace). Náhodné chyby obou triangulací způsobují nepravidelný průběh druhých diferenci; oprava ze třetí diference (která by byla zde produktem náhodných chyb) se právem nebrala v úvahu.

   Nové tabulky se pořídily i pro přímý převod Křovákových souřadnic do soustavy S-42 ve třístupňových pásech. K tomu byly konečné souřadnice (x, y)₄₂ rohů 10 x 10 km převedeny ze šestistupňových do třístupňových pásů.

   Při afinní transformaci se uplatňují posuny jen tří okolních identických bodů, izočáry jsou lomené a každá kombinace tří bodů dává jiné výsledky. Při uvedené plošné interpolaci s uplatněním druhé diference jsou výsledky jednoznačné a uplatňují se posuny všech okolních bodů (i vzdálenějších). Posuny blízkých bodů se uplatní větší měrou. Transformace tedy odpovídá požadavkům, kladeným na převody  sítě, a je ekvivalentní obecnému průměru z posunů všech okolních bodů.

   Podle pokusných výpočtů jsou výsledky velmi blízké výsledkům nového vyrovnání sítě. Transformace není konformní – požadavek zachování úhlů však není zdůvodnitelný, protože nová základní síť má jiné vyrovnané úhly než Křovákova.

   Ocenění kvality JTSK porovnáním s polohami bodů v S-42 nelze provést přímo, protože obě leží v různých rovinách a v soustavě S-52 je tvar JTSK deformován kubickou transformací. K tomuto účelu sestavil Cimbálník plošné tabulky, obsahující rozdíly délek stran triangulačních listů 10 x 10 km v obou soustavách (po odečtení zkreslení délek v obou zobrazeních).

   Podle přibližného odhadu způsobila transformace JTSK do S-42 zkrácení západovýchodní osy o 2,5 m, osy Děčín - Český Krumlov o 1,0 m a osy Ostrava - Bratislava o 1,5 m.

 nahoru

Shrnutí způsobu převodu ze systému S-JTSK do S-42

   Pro průsečíky sítě 10 x 10 km v S-JTSK, tedy rohy čtverců triangulačních listů, jsou známy odpovídající souřadnice (x₀, y₀) v systému S-42. Vypočtou se první a druhé diference souřadnic x a y podle schématu vlevo. Potom se k souřadnicím (Y, X) v S-JTSK vypočtou souřadnice v S-42 interpolací takto:

Důležité závěry o systému S-1942

   S-42 byl první souřadnicový systém v ČSR, jehož tvar, rozměr a orientace byly určeny (prostřednictvím AGS) na úrovni srovnatelné s podobnými sítěmi v západní Evropě. Pokud došlo k tvarové deformaci v důsledku chyb v azimutech (např. na Moravě), byla později napravena při druhém souborném vyrovnání AGS (S-42/83).

   Transformace jako náhrada za vyrovnání byla vzhledem k možnostem výpočetní techniky na přelomu let padesátých a šedesátých nutná. Byla však odvozena tak, aby se zachovaly souřadnice bodů vyrovnaných a aby identita na nich byla přenesena na body čtvercové sítě 10 x 10 km, ze kterých se pak všechny souřadnice ostatních bodů velmi jednoduše počítaly.

   Porovnáním souřadnic S-42 s S-JTSK byly zjištěny závažné délkové deformace S-JTSK, zejména na Slovensku a zvláště pak v jeho jižní části. Deformace, dosahující hodnot až 30 mm/km - jsou velkou překážkou při použití přesných dálkoměrů; prakticky stejný problém vzniká při použití technologie GPS. Deformace jsou také samozřejmě způsobeny stárnutím sítě (posuny stabilizací) a rozdílným způsobem redukcí měřených veličin na zobrazovací plochu.

Systém S-52

   Je třeba ještě uvézt, že Vojenský topografický úřad v Dobrušce vytvořil pro nové topografické mapování v měřítku 1:25 000 souřadnicový systém S-52 (byl jen velmi málo odlišný od S-42), a to transformací JTSK do dosud nevyrovnané mezinárodní sítě S-42. V tomto případě šlo o nejen o převod sítě na nový Krasovského elipsoid, ale také o zlepšení její polohy a orientace (posunutí a pootočení). Výpočetními pracemi byl pověřen Miloš Pick. Všechny výpočetní práce se konaly v rovině Křovákova zobrazení, přičemž byly souřadnice na obou elipsoidech ztotožněny (x_B = x_K, y_B = y_K). Pro rohy obrazců rovinné sítě o rozměrech Dy_B = Dy_K = 150 km a Dx_B = Dx_K = 100 km byly vypočteny souřadnice j_B, l_B, resp. j_K, l_K. Jejich rozdíly vyjadřují změny souřadnic v důsledku přechodu z elipsoidu Besselova na Krasovského. Napojení JTSK na sovětský systém S-42 bylo uskutečněno na základě Sověty dodaných „identických“ bodů, a to kubickou konformní transformací.

   Systém S-52 byl vytvořen na základě požadavků Moskvy vytvořit urychleně předběžný souřadný systém, který bude jen velmi málo odlišný od definitivního systému S-42. Jak již bylo zmíněno výše, S-52 byl využit pouze pro topografické mapování v měřítku 1:25 000 (0,2 mm je 5 m ve skutečnosti, proto se předpokládalo, že "nepřesnost" S-52 vůči S-42 se v tomto měřítku neuplatní).

   Systému S-52 je věnována samostatná stať, kde je podrobněji probráno, jak to tenkrát doopravdy bylo, a způsob přechodu z konformního zobrazení Křovákova do Gaussova.

 nahoru

Systém S-42/1983

   Síť S-42 se dále zpřesňovala a doplňovala, čímž vznikla mezinárodní jednotná astronomicko-geodetická síť (JAGS), v níž byla vyrovnána i naše AGS, čímž vznikl souřadný systém S-42/83. Je uveden v další stati.